Weiterführung der Differentialrechnung

Die Ableitung der Exponentialfunktion

Auf der letzten Seite haben Sie gesehen, wie man die natürliche Exponentialfunktion f(x)=e^x ableiten kann. Zusammen mit der Kettenregel haben Sie nun die benötigten Werkzeuge kennengelernt, dies auch auf andere Exponentialfunktionen anzuwenden.

Beispiel: f(x)=e^x²+2x+3
Zur Ableitung muss man erkennen, dass es sich hierbei um eine Verkettung von Funktionen handelt. Es gilt:

u(x)=e^x und v(x)=x²+2x+3.

Da nun u'(x)=e^x und v'(x)=2x+2 gilt nach der Kettenregel:

f'(x)=u'(v(x))*v'(x)=e^x²+2x+3*(2x+2)

Somit kann man nun auch beliebige Exponentialfunktionen und nicht nur die natürluche Exponentialfunktion ableiten. Es gilt nämlich:

a^x=e^{ln(a^x)}=e^x*ln(a)

Betrachten wir nochmals unser Eingangsbeispiel von der letzten Seite. Dort sollte die Funktion f(x)=4^x differenziert werden. Es gilt also:

f(x)=4^x=e^x*ln(4)

Für die Ableitung ergibt sich daraus:

f'(x)=e^x*ln(4)*ln(4)=4^x*ln(4)≈1,3863*4^x.

f(x)=e^4x²+2x-2